Никита Сошников родился 14 октября 1993 года, в городе Нижний Тагил. С самого детства занимался хоккеем в местной команде «Спутник». В 2009 году оказался в системе подготовки подмосковной команды «Атлант», выступал за юношеские команды клуба.

В сентябре 2010 года Сошников дебютировал в Молодежной хоккейной лиге за «Мытищинских Атлантов» в матче против «Шерифа». Уже в следующей игре набрал первые баллы за результативность, отдав 2 голевых передачи. Проведя 4 сезона в МХЛ за «Атлантов», хоккеист сыграл 191 матч, забросил 82 шайбы и сделал 81 голевую передачу.

За основную команду «Атлант» Никита дебютировал в сентябре 2013 года в матче Континентальной хоккейной лиги против «Югры». Дебют оказался удачным, в первой же игре нападающий забил гол с передач Александра Кадейкина. Однако сезон 2013-14 доигрывал в Высшей хоккейной лиге за клуб «Буран».

Сезон 2015 года Сошников опять начал за основную мытищинскую команду и в результате признан самым ценным игроком хоккейного клуба «Атлант». Благодаря этому 21 марта 2015 года игрок подписал трехлетний контракт с клубом Национальной хоккейной лиги «Торонто Мейпл Лифс». В этом же году начал выступать за сборную России по хоккею.

Дебют Сошникова в Национальной хоккейной лиге состоялся 29 февраля 2016 года в матче против «Тампы-Бэй Лайтнинг». Первый гол в НХЛ хоккеист забил 2 марта 2016 года в ворота «Вашингтон Кэпиталз». Однако в матче с «Бостоном» после силового приема Здено Хары получил тяжелое сотрясение мозга, из-за чего пропустил остаток сезона.

Сезон 2017-18 начал в резервном клубе «Торонто» в Американской хоккейной лиге. В связи с этим, по условиям контракта, хоккеист имел право уехать в КХЛ. Чтобы этого не случилось тренеры клуба приняли решение вернуть игрока в основной состав команды. Однако сыграв за «Мэйпл Лифс» всего 3 матча, руководство поместило Никиту в список травмированных из-за повреждения нижней части тела, а затем отправило в лигу ниже для набора игровых кондиций.

В феврале 2018 года Сошникова обменяли в «Сент-Луис Блюз» на выбор в 4-м раунде драфта. Первый матч за «Сент-Луис» сыграл 25 февраля в Нэшвилле против «Предаторз», но «Блюз» проиграли 0:4. Свою первую шайбу за новую команду забил только в 8 матче.

По состоянию на май 2018 года Никита играет на позиции крайнего нападающего хоккейной команды НХЛ «Сент-Луис Блюз» под игровым номером - 90.

Рост игрока - 181 см, вес - 83 кг. Хват клюшки - левый.