Денис Спицов родился 16 августа 1996 года в поселке городского типа Вожега, Вологодская область. В лыжный спорт пришел 10 лет. Тренировался под руководством Евгения Ванюкова. В 14 лет стал выступать за Тюменскую область.
С 2015 по 2018 года становился неоднократным призером Чемпионатов мира среди юниоров, в том числе в 2015 году завоевал золото в эстафете и серебро в гонке на 10 километров, в следующем году стал серебряным призером в эстафете 4х5 километров, затем в городе Парк-Сити занял третьи места в скиатлоне и гонке на 15 километров свободным стилем. В 2018 в долине Гомс, Швейцария, одержал победу в скиатлоне и стал вторым в гонке на 15 километров классическим стилем.
Во взрослых соревнованиях участвует с сезона 2015/2016 года. Серебряный призер Чемпионата России 2016 года в эстафете, серебряный призер 2017 года в эстафете и скиатлоне. Является победителем этапов Кубка России, серебряным призером III зимних Всемирных военных игр в городе Сочи 2017 года в гонке на 15 километров свободным стилем. Победитель международных гонок Международной федерации лыжного спорта, FIS.
С сезона 2017/2018 года Денис принимает участие в Кубке Мира. На финальном этапе «Тур де Ски» 2018 года показал третье чистое время, этот результат не имел спортивного значения, а в общем зачете лыжник стал 13. В общем зачете Кубка мира 2017/2018 по состоянию на январь 2018 года шел на четвертом месте среди спортсменов до 23 лет.
На зимних Олимпийских играх 2018 года в Корее, в скиатлоне, Денис совершил по-настоящему спортивный подвиг. На старте оказался в завале вместе с норвежским спортсменом Крюгером. Но, сумев догнать лидирующую группу, на протяжении второго отрезка находился среди лидеров и только на финише пропустил вперед себя трех норвежцев, заняв четвертое место и став первым среди молодых спортсменов-лыжников в возрасте до 23 лет. В гонке на 15 километров с раздельным стартом занял третье место.
Выступает Спицов за Тюменскую область и спортивное общество ЦСКА. Тренируется под руководством Е.С. Ванюкова, А.Н. Иванова, в сборной у Ю.В. Бородавко. Имеет воинское звание ефрейтора. Специализируется в гонках на 10 и 15 километров.