Кирилл Свешников родился 10 февраля 1992 года в городе Санкт-Петербург. Появился на свет в спортивной семье. Его отец Михаил Свешников, рекордсмен Мира по велотреку. Активно заниматься велоспортом начал в раннем детстве, проходил подготовку в школе-интернате №357 «Олимпийские надежды» и в школе высшего спортивного мастерства «Локомотив», в разное время тренировался под руководством таких специалистов как А.В. Постернак, А.А. Кузнецов, О.В. Кравчук, В.В. Колосов. Член Санкт-петербургской велокоманды «Локосфинкс».
Первого серьезного успеха добился в 2009 году, когда попал в юниорскую сборную России по шоссейному велоспорту и побывал на Чемпионате Мира среди юниоров в городе Москва, где финишировал девятым. Год спустя на треке выступил на юниорском Чемпионате Европы в городе Санкт-Петербург, выиграл серебряные медали в гонке по очкам и мэдисоне, стал Чемпионом в командной гонке преследования.
Велогонщик принял участие в мировом Первенстве среди юниоров в Италии, выиграл бронзу в гонке по очкам и серебро в мэдисоне. Дебютировал на взрослом международном уровне, приняв участие в этапе Кубка Мира в Колумбии. Одновременно с этим участвовал в шоссейных гонках, сезон 2011 года практически полностью посвятил шоссе.
В 2012 году Свешников в гонке по очкам завоевал серебряную медаль на Чемпионате Европы в литовском городе Паневежис, помимо этого в той же дисциплине добыл серебро на этапе Кубка Мира в городе Лондон и в скрэтче одержал победу на этапе в городе Пекин. Соревновался в элитных веломногодневках Испании, Франции, Португалии, в том числе стартовал в «Вуэльте Мурсии», «Вуэльте Кастилии и Леона».
На Чемпионате Мира 2013 года в городе Минск выиграл бронзовую медаль в гонке по очкам, дополнительно выступал в «Туре Словении», проехал все этапы знаменитой многодневной гонки «Тур де л'Авенир» во Франции. В следующем году продолжил череду успешных выступлений, на треке одержал победу на этапе Кубка Мира в Мексике, на шоссе участвовал в «Туре Бразилии» и прочих соревнованиях. В этом сезоне спортсмена заподозрили в применении кленбутерола, однако впоследствии оправдали, запрещенное вещество попало в кровь вместе со съеденной в Мексике говядиной.
За выдающиеся спортивные достижения удостоен почетного звания «Мастер спорта России международного класса».