Трудовую деятельность начал в 1996 году с должности специалиста первой категории Центральной гидрохимической лаборатории Министерства природных ресурсов России.

В 2000 году Свинцов перешел на работу в Государственный центр водохозяйственного мониторинга Министерства природных ресурсов РФ на пост младшего научного сотрудника.

С июля 2003 года работал в секретариате Владимира Жириновского. С марта 2004 года являлся помощником первого заместителя Руководителя фракции ЛДПР в Государственной Думе Федерального Собрания России Максима Рохмистрова.

В 2007 году баллотировался в Государственную думу V созыва, но избран не был. Следующая попытка четыре года спустя оказалась успешной.

В декабре 2011 года Андрей Свинцов был избран депутатом Государственной Думы Российской Федерации VI созыва. Входил в состав комитета по вопросам собственности. Член Молодежной общественной палаты. Являлся помощником заместителя Председателя ГосДумы Жириновского.

На выборах 18 сентября 2016 года Свинцов Андрей Николаевич избран Депутатом Государственной Думы VII созыва. Член фракции политической партии ЛДПР. Заместитель председателя комитета по информационной политике, информационным технологиям и связи.

Принимал участие 19 сентября 2021 года в выборах в Госдуму от партии ЛДПР. Баллотировался под первым номером в составе региональной группы №41 (Москва). По итогам распределения мест депутатский мандат не получил.

С 8 июня 2022 года стал депутатом Государственной думы РФ VIII созыва. Получил вакантный думский мандат ушедшего из жизнь 6 апреля лидера ЛДПР Владимира Жириновского. Вошел в комитет Государственной Думы по информационной политике, информационным технологиям и связи, став заместителем председателя комитета.

Семья