Алексей Свирин родился 15 декабря 1978 года в городе Москва. С детства занимался академической греблей. Окончил училище олимпийского резерва. Позднее получил звание мастера спорта международного класса по академической гребле. Тренироваться начал под руководством В.А. Борщева.

В 1999 году Свирин вошел в состав российской национальной сборной. Его тренерами стали П. Панков и Ю. Малышев. Спортсмен начал выступать за Российскую Армию. В том же году принял участие в Чемпионате России, где завоевал свой первый почетный титул и продемонстрировал, что в дальнейшем добьется больших результатов на мировых Первенствах.

В 2001, 2003 и 2004 годах завоевывал место призера на Чемпионатах России. В 2003 и 2004 годах спортсмен принял участие в этапе Кубка Мира, завоевав призовое место. На Чемпионате Мира в 2003 году занял 5 место.

Спортсмен в 2004 году принял участие в Олимпийских играх в городе Афины, Греция. Выступал в категории мужская парная четверка, завоевав золото, оставив позади всех фаворитов заплыва. Победа далась огромным трудом и стараниями. Через два года, в 2006 году Свирин стал участником Чемпионата Мира, заняв 6 место. В 2007 году спортсмен завоевал заслуженное первое место на Чемпионате Европы, повторил успех в 2011 году.

В 2008 году Свирин участвовал в Олимпийских играх в городе Пекин, Китай. Спортсмен не смог повторить результаты предыдущей олимпиады, не попал в финал состязаний. 

С 12 ноября 2016 года занимает пост Президента Федерации гребного спорта России. В том же году стал слушателем программы Российского Международного Олимпийского университета в городе Сочи «Спортивный менеджмент».

За заслуги в спортивной деятельности Алексей Свирин удостоен Почетного звания «Заслуженный мастер спорта».