Леонид Телятников родился 25 января 1951 года в поселке Введенка, Казахстан. По окончании школы работал электриком на авторемонтном заводе. В 1971 году окончил Уральский институт Государственной противопожарной службы МЧС России. Имел разряд по боксу и пожарно-прикладному спорту. Позднее получи дополнительное образование в Академии государственной противопожарной службы МЧС России.
Трудовую деятельность Телятников начал после окончания института в Отделе внутренних дел Рудненского горисполкома, где являлся инспектором отдела пожарной охраны, а в 1973 году стал инспектором отделения государственной пожарной охраны. С 1978 по 1980 год занимал должность начальника государственной военизированной пожарной охраны Отдела внутренних дел Кустанайского горисполкома. Затем назначен заместителем начальника военизированной пожарной части №69 города Кустаная.
В 1982 году Леонид Телятников стал старшим инженером группы по надзору за литерными объектами Отдела пожарной безопасности районного отделения внутренних дел Киево-Святошинского райисполкома города Киева. В 1983 году назначен начальником военизированной пожарной части №2 МВД Украинской ССР по охране Чернобыльской АЭС.
В ночь на 26 апреля 1986 года произошел пожар на 4-м энергоблоке Чернобыльской АЭС. Через семь минут после получения сигнала пожарные расчеты приступили к тушению пожара. Всеми мероприятиями по тушению пожара на аварийном энергоблоке руководил майор внутренней службы Телятников. Получил большую дозу радиационного облучения, длительное время находился на лечении в Москве.
За мужество, героизм и самоотверженные действия, проявленные при ликвидации аварии на Чернобыльской АЭС, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 25 сентября 1986 года майору внутренней службы Телятникову Леониду Петровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
Затем Леонид Петрович являлся начальником сектора испытательной пожарной лаборатории, а с 1989 по 1993 год занимал должность заместителя начальника нормативно-технического отдела Управления пожарной безопасности ОВД Киевского облисполкома. Впоследствии стал заместителем начальника Главного управления пожарной охраны МВД Украины.
В 1995 году Леонид Телятников занимал должность заместителя начальника Управления государственной пожарной охраны МВД Украины. В тои же году генерал-майор внутренней службы ушел в отставку. В 1998 году возглавил Добровольное пожарное общество города Киева. Являлся основателем Киевского детского движения «Юный пожарный».
Умер Леонид Петрович Телятников 2 декабря 2004 года в возрасте пятидесяти трех лет. Похоронен на Байковом кладбище в Киеве.
Золотая Звезда Героя Советского Союза
Орден Ленина
Орден «За мужество» III степени, Украина
Медаль «За отвагу на пожаре» Британского союза пожарных
Медали
На здании ГУ ГСЧС Украины в Киевской области установлена мемориальная доска
В Уральском институте ГПС МЧС в Свердловской области в память Леонида Петровича установлена мемориальная доска
В Киеве безымянную площадь на пересечении улиц Маршала Малиновского и Добрынинской назвали площадью Леонида Телятникова
В Киеве на Аллее Героев-чернобыльцев установлен бюст Л.П.Телятникова