Максим Цветков родился 1 марта 1992 года в поселке Бабаево Вологодской области. Там же начал заниматься спортом под руководством собственного отца, директора Бабаевской детско-юношеской спортивной школы «Старт». Сначала Цветков-младший был чистым лыжником, но примерно в 15 лет он переключился на биатлон и на первых же соревнованиях «Полярная Олимпиада» в Мурманской области занял первое место.
В 19 лет Максим Цветков - завсегдатай и лидер всех молодежных соревнований по биатлону. Три золотых медали на Кубке мира в Чехии в 2011 году и еще две - через год в Финляндии приковали к молодому спортсмену внимание тренеров главной сборной. Максим не стал их разочаровывать и практически на каждом этапе на уровне юниоров поднимался на пьедестал почета.
Но Цветков не жил исключительно биатлоном. Понимая, что спортивная карьера не долговечна, он окончил Московский государственный гуманитарный университет имени Шолохова, получив диплом психолога, после чего пошел на второе образование в Московскую академию физкультуры, где учится сейчас по специальности «Менеджмент в спорте».
Весьма неплохо начал Максим Цветков свою карьеру и на взрослом уровне. На Кубке мира 2013 года в Холменколлене в первых же соревнованиях он смог финишировать на 8 месте, что для дебютанта можно назвать большим достижением. В следующем сезоне молодой спортсмен вновь почувствовал вкус победы, когда вместе с партнерами по команде победил в эстафетной гонке.
Вообще, Цветков гораздо увереннее чувствует себя в эстафетах и смешанных гонках. Как он считает, в подобных соревнованиях, в отличие от индивидуальных, его подстегивает ответственность за результат перед коллегами, а также подбадривает командный дух.
Стоит отметить, что Максим от этапа к этапу улучшает свои показатели в стрельбе, что продвигает его в число лидеров. Например, в январе 2016 года в индивидуальной гонке за счет безошибочной стрельбы он добился 5-го места, а через неделю, снова не сделав ни одного промаха в спринтерской гонке, финишировал вторым, что является его персональным рекордом на профессиональном уровне.
Такая самоотдача очень радует всех поклонников российской сборной, ведь этот факт говорит о большом потенциале и отличной перспективе молодого спортсмена.