Александр Тучкин родился 15 июля 1964 года в городе Львов. Начал заниматься гандболом достаточно поздно - в 17 лет, когда отец привел его к тренеру минского СКА Спартаку Мироновичу. Легендарному наставнику приглянулся высоченный парнишка, который быстро начал реализовывать свой огромный потенциал.
В 1985 году Тучкин в составе молодежной сборной СССР стал победителем чемпионата мира, а через год вошел в состав главной команды страны, в блестящем стиле выигравшей гандбольный турнир Олимпиады в Сеуле. В составе непобедимого в ту пору минского СКА Тучкин четырежды брал золото союзных чемпионатов и трижды побеждал в Кубке чемпионов.
После чемпионата мира-1990, выиграв со сборной СССР серебряную медаль и став лучшим бомбардиром турнира, Александр уехал играть за рубеж - сначала в немецкую бундеслигу, затем в испанскую Лигу ASOBAL. После распада СССР Тучкин регулярно приезжал в расположение сборной Белоруссии, но, понимая, что достичь больших побед с этой сборной ему вряд ли удастся, в конце 1998 года принял российское гражданство. В двух подряд финалах международных турниров - чемпионата мира-1999 в Египте и чемпионата Европы-2000 в Хорватии - сборная России всего в один мяч проигрывает команде Швеции, зато в решающем поединке Олимпиады-2000 в Сиднее не оставляет этому сопернику шансов на успех, чему способствует блестящая игра Александра Тучкина, ставшего самым результативным игроком финала.
После сиднейской Олимпиады, Тучкин переезжает играть в чемпионат Греции - его команда «Филиппос» из Верии достигает невиданных для греческого гандбола высот, дойдя до финала Кубка Вызова-2002/03. Клубную карьеру Тучкин завершает в немецких коллективах низших лиг.
В 2004 в Афинах в возрасте сорока лет Александр Тучкин завоевывает бронзу на свою третьей Олимпиаде и завершает свою 20-летнюю проведенную на высочайшем уровне игровую карьеру.
В настоящее время Александр Тучкин занимает пост вице-президента Московской федерации гандбола, работает комментатором на телеканале «Спорт».