Алексей Вертков родился 31 марта 1982 года в городе Новосибирск. Окончив школу, он поступил в Новосибирское театральное училище. С 1998 года Алексей играл в спектаклях, которые ставились городским Драматическим театром. Среди прочих ролей, на счету актера - Шута в «Короле Лире». В 2001 году Алексей Вертков стал студентом режиссерского факультета ГИТИС.
За роль Веничка в спектакле «Москва-Петушки» Алексей Вертков был удостоен сразу трех театральных премий: «Хрустальная Турандот - 2013», премии Станиславского и «Золотая маска».
В кино Алексей дебютировал в 2006 году, сыграв главную роль в корометражке «Вратарь». Затем последовала эпизодическая роль в сериале «Капитанские дети», однако в титрах актер не был указан. В лирической комедии Юсупа Разыкова «Беглянки» Алексей Вертков сыграл охранника, возлюбленного Нюры. Главная роль досталась актеру в 2009 году - в сериале «Десантура» он сыграл Рыжова.
Помимо этого в фильмографии Алексея роли в таких кино- и телепроектах, как «Пелагия и белый бульдог», «Дом Солнца», «Утомленные солнцем - 2: Цитадель», «Сын отца народов», «Инквизитор», «Молодая гвардия», «Орлова и Александров», «Взрослые дочери» и другие.
Алексей Вертков сыграл главную роль в военной драме Карена Шахназарова «Белый Тигр».