Андрей Волков родился 22 мая 1986 года в городе Чусовой, Пермский край. Вырос в спортивной семье, его старший брат Сергей Волков мастер спорта по фристайлу. Начал занятия спортом еще в раннем детстве. Тренер специализированной детско-юношеской школы олимпийского резерва Макиев Заур сразу увидел в мальчике потенциал и рвение к победе, силу воли.

Поверив в юное дарование и уделяя ему особое внимание, Заслуженный тренер России не прогадал. Андрей, будучи еще подростком, показывал удивительные спортивные результаты, как на тренировках, так и на соревнованиях городского, позднее областного уровня. Фристайл стал на все последующие годы его главным и единственным поприщем.

Спортсмен провел более 64 выездов в Кубке Мира, дебютировав на нем в 2003 году. В 2012 году на очередном Кубке мира занял третье место в парном могуле, получив бронзовую медаль. Лучшим результатом в общем зачете стало 15 место в сезоне 2004/2005 года.

Первый Чемпионат мирового значения для Волкова состоялся в 2005 году. Чемпионат 2005 года в Финляндии увенчался для Волкова 51 местом. Через год стал двукратным Чемпионом Мира среди юниоров в одиночном и парном могуле. Каждые два года вплоть до 2009 года Андрей принимал участие в Чемпионатах Мира. В 2009 году на Чемпионате Мира в Японии добился большого результата, заняв 9 место в парном могуле. 

В 2010 году на XXI Олимпийских зимних играх, проходивших с 12 по 28 февраля в канадском городе Ванкувер, занял 25 место. Позднее принимал участие в XXII Олимпийских зимних играх в городе Сочи Краснодарского края.

На всемирном Чемпионате 2012 года завоевал бронзовую медаль, что стало прыжком вверх в его спортивной карьере. Также Волков 17 раз стартовал в Кубке Европы. Является мастером спорта международного класса по фристайлу в дисциплине могул. Выступал за Вооруженные силы РФ и Московскую городскую федерацию спортивных обществ.

Андрей Волков тренирует сборную России по фристайлу в дисциплине могул.