Алексей Янин родился 14 марта 1983 года в городе Москва. Семья будущего актёра не была связана с профессиональным искусством - отец мальчика по профессии историк, а мама - экономист. С детских лет мальчик проявлял артистические способности. Его весёлый характер и неуёмную жизненную энергию отмечают как воспитатели, так и школьные учителя. Обучался будущий актёр сначала в 415-й школе Москвы, затем, по настоянию бабушки, перевёлся в Пушкинскую школу, а после девятого класса принял решение вернуться в свою прежнюю школу.

К моменту её окончания вопрос о выборе дальнейшего пути не был проблемным - школа состояла при государственном технологическом университете имени Циолковского, и поступление в этот престижный вуз было уже, фактически, обеспечено. Но Алексей принимает ответственное решение идти по пути актёрской профессии, всегда привлекавшей его творческую, полную артистизма натуру. Одним из важнейших факторов, повлиявших на судьбу актёра, стало посещение разновозрастного отряда «Надежда».

Эта организация, в недалёком прошлом бывшая пионерским отрядом, ставила своей основной целью развитие в детях таких качеств, как взаимовыручка, активность, любовь к истории своей земли; организовывала походы и спортивные состязания. Каждый выпускник отряда «Надежда» с теплотой вспоминает проведённые там годы, занимающие особое место в биографии человека. Именно педагог этого отряда, Ефим Борисович Штейнберг, подготовил Алексея Янина к поступлению в театральное училище, куда ему самому так и не удалось в своё время поступить.

Подав документы во все театральные вузы столицы, Алексей Янин не проходит только во МХАТ, зато остальные вузы принимают его к себе. Оказавшись перед выбором между многими престижными заведениями, такими как ВГИК, ГИТИС, Институт им. Щукина, Алексей останавливается на последнем. Там он поступает на курс педагога Виктора Коршунова, которого рекомендовал Ефим Штейнберг. Так начались четыре года интенсивной студенческой жизни. Лекции, подготовка этюдов, театральная жизнь столицы захватывают Алексея.

Сам он вспоминает, что поначалу совершенно не понимал разницу между театральными вузами. Сразу хотел идти во МХАТ, но, когда позднее такая возможность появилась, Алексей Янин уже был преданным студентом именно своей "альма матер".Окончив Щепкинский институт с отличием в 2004 году, Алексей был приглашён сразу в несколько театров. Из всех предложенных вариантов он выбирает РАМТ, поскольку на завершающем этапе обучения уже был привлечён к работе в этом театре в качестве исполнителя главной роли в спектакле «Повелитель мух» режиссёра Александра Огарёва. Премьера состоялась в 2005-м году, и спектакль вошёл в репертуар театра. В это же время молодой актёр подаёт свою кандидатуру ещё на одну главную роль в спектакле «Инь и Ян», получая одобрение художественного руководителя театра.

В дальнейшем Алексей Янин сыграл роль принца в спектакле «Золушка», и, как бы отдавая дань своему математическому прошлому, роль учёного в спектакле «Тень». Сам актёр утверждает, что не делит роли на «хорошие» и «плохие». Свою задачу видит в проведении характера персонажа от начала и до конца спектакля, получая нужный образ путём максимального вживания в сюжетный ряд произведения.

Настоящую известность Алексею принесла работа в кино. Он участвовал в сериале «Студенты» в роли Антона Седых. По воспоминаниям Алексея, этот проект для всех участников был первым серьёзным, поэтому актёры старались изо всех сил, проводя много времени за обсуждением и мельчайшей проработкой сцен и характеров своих персонажей, их целей и внутренних мотивов.

Отвечая на вопрос журналистов о том, любит ли он сниматься в сериалах, Алексей Янин отвечает, что его, в первую очередь, интересует качество материала и возможность для раскрытия образа своего персонажа. Можно попасть в очень хороший сериал, а можно попасть и в плохой фильм - справедливо замечает актёр. Дальнейшие его работы также запомнились зрителю. Среди них сериалы «Дочки-матери», «Клуб», «Острог. Дело Федора Сеченова», многосерийный проект «Сильнее судьбы», где Алексей исполнил положительную роль участкового полицейского Николая Портнова.