Никита Зайцев родился 29 октября 1991 года в городе Москва. Начинал карьеру в московских «Крыльях Советов», дебютировал в их составе в 2009 году. На драфте КХЛ 2009 был выбран в первом раунде под общим 4 номером новосибирской «Сибирью». В ее составе Никита дебютировал в сезоне 2009/2010.
Провел 192 игры в КХЛ, набрал 26 очков при показателе полезности -16. При этом в самом результативном для себя сезоне 2012/13 Зайцев в 56 играх набрал 19 очков и стал лидером обороны «Сибири», примерив под конец сезона капитанскую повязку. С 1 мая стал игроком ХК ЦСКА.
В мае 2016 года подписал однолетний контракт новичка с клубом НХЛ «Торонто Мейпл Лифс». Первый гол за «Торонто» забил в 30 матче с «Питтсбург Пингвинз» в ворота Марка-Андре Флери. По итогам сезона стал ведущим защитником команды, проводя на льду в среднем 22:01. При этом заработал худший в команде показатель полезности. По словам самого Никиты, это явилось следствием того, что он выходил на лед против сильнейших форвардов соперника. 2 мая, после вылета из плей-офф, заключил 7-летний контракт с «Торонто» на сумму $ 31,5 млн.
В составе молодежной сборной выиграл чемпионат мира 2011. В ходе турнира получил серьезную травму правой кисти, но в финале чемпионата все-таки сыграл. В составе взрослой сборной России дебютировал в матче против Австрии на чемпионате мира 2013, отметившись голом. В декабре 2015 года участвовал в Кубке Первого канала.
Женат. Есть дочь.