Александр Брыксин родился 20 января 1967 года в городе Кемерово. Учился в кемеровской школе № 65. С детства подросток активно занимался спортом. Результатом его тренировок стала победа на Чемпионате Советского Союза по вольной борьбе. Так же имеет звание мастера спорта по вольной борьбе и судомодельному спорту.
После школы, в 1996 году окончил Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. Позднее, получил диплом Академии международного бизнеса. С 2007 по 2010 год работал в Русском международном банке на посту вице-президента. Являлся Членом совета директоров ЗАО «Курскрезинотехника», заместителем генерального директора по инвестициям.
Брыксин активно помогает детским домам, участвует в организации досуга, обедов и мероприятий с детьми, оставшимися без попечения родителей. В Кемерово на средства областного бюджета и Александра Юрьевича построен современный дворец спорта по вольной борьбе, спортивной и художественной гимнастике. Является вице-президентом Всероссийской федерации художественной гимнастики.
В декабре 2011 года Брыксин победил на выборах депутатов Государственной Думы VI созыва. Являлся членом комитета по вопросам собственности. Руководил Экспертно-консультативным советом фракции «Единая Россия» по совершенствованию законодательства в сфере физической культуры, спорта и развития внутреннего туризма. Участник Общероссийского общественного движения «Народный фронт «За Россию».
На выборах 18 сентября 2016 года Брыксин Александр Юрьевич избран Депутатом Государственной Думы VII созыва в составе федерального списка кандидатов, выдвинутого Всероссийской политической партией «Единая Россия». Член фракции «Единая Россия». Член комитета Государственной Думы по делам общественных объединений и религиозных организаций. Впоследствии перешел в комитет по развитию гражданского общества, вопросам общественных и религиозных объединений. Дата начала полномочий: 18 сентября 2016 года.
С 2016 по 2019 год, в течение исполнения полномочий депутата Государственной Думы Российской Федерации VII созыва, Александр Брыксин выступил соавтором 77 законодательных инициатив и поправок к проектам федеральных законов.
Почетная грамота Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации.
Почетный знак Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации.
Золотой Почетный знак «Общественное признание» - за большой личный вклад в развитие благотворительности и меценатства в России, плодотворную деятельность по оказанию эффективной социальной и духовной поддержки наиболее нуждающимся категориям наших сограждан, активную патриотическую и гражданскую позицию.
Медаль «300 лет Российскому флоту».
Ордена Русской Православной Церкви святого благоверного князя Даниила Московского II и III степени.
Орден Преподобного Сергия Радонежского III степени.
Медаль Ордена Русской Православной Церкви святого равноапостольного князя Владимира.
Орден «Ключ дружбы» - одна из высших наград Кемеровской области.
Медаль ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени (3 мая 2018) - за активную законотворческую деятельность.
Почетная грамота Курской областной Думы.
Присвоено звание «Почетный гражданин Кемеровской области».
Благодарственное письмо за вклад в строительство часовни в память о погибших в ТРЦ «Зимняя вишня».
Жена - Светлана, предприниматель.
Дочь - Мария.
Дочь - Елизавета.
Сын - Егор.
Сын - Максим.