Евгений Дадонов родился 12 марта 1989 года в городе Челябинск. Воспитанник челябинского «Трактора». Первый тренер Борис Самусик. Дадонов начал свою профессиональную карьеру в 2006 году игроком «Трактора». Был выбран на драфте 2007 под 71 номером клубом «Флорида Пантерз».
Отыграв сезон в АХЛ за «Рочестер Американс», в 2009 году был привлечен в «Пантерз». Первый гол в НХЛ забил 15 декабря 2010 года в ворота «Каролины». В январе 2011 года стал участником конкурса «Суперскиллз» на матче всех звезд. 19 января 2012 года был обменян в «Каролину Харрикейнз», однако весь остаток сезона играл в ее фарм-клубе.
В 2012 году 4 июля подписал контракт с украинским клубом «Донбасс» из Донецка. В 2014 году подписал контракт с петербургским клубом СКА. В розыгрыше Кубка Гагарина 2015 года установил новый рекорд по количеству заброшенных шайб в плей-офф - 15.
В плей-офф 2017 года набрал 19 очков и помог СКА вновь выиграть Кубок Гагарина. В финальной серии против магнитогорского «Металлурга» забросил 4 шайбы в 5 встречах, став лучшим снайпером серии.
После окончания контракта с питерским клубом 1 июля 2017 года вернулся в НХЛ во «Флориду Пантерз», подписав 3-летний контракт на $12 млн.
Женат. Супругу зовут Анна. Есть дочь. В марте 2016 года у Евгения Дадонова родился сын.