Евгений Донской родился 9 мая 1990 года в городе Москва. Родители мальчика занимались предпринимательской деятельностью. В теннис Евгений пришел в семь лет. Начал занятия вместе со своим отцом. Его любимое покрытие хард, лучший удар форхенд. Кумиром в мире тенниса в детстве для него являлся Евгений Кафельников.

Профессиональную карьеру Евгений начал в 2007 году. Первых титулов на турнирах из серии «фьючерс» добился через год. В октябре того же года состоялся его дебют в основной сетке турнира Ассоциации теннисистов-профессионалов, ATP, когда получил специальное приглашение от организаторов турнира в городе Москва. В первом своем матче на таком уровне уступил сербу Виктору Троицки. Следующее появление в туре произошло через год вновь на Кубке кремля, где в первом раунде проиграл Потито Стараче.

В феврале 2011 года Донской выиграл первый в карьере «челленджер», сумев взять этот трофей в городе Касабланка. В ноябре совместно с Игорем Андреевым одержал победу в парном «челленджере» в городе Женева, Швейцария. Через год победил на «челленджере» в городе Мекнес. В июле взял «челленджер» в городе Астана, а в августе в Открытом Чемпионате Кастилии и Леона. Еще одну победу на «челленджерах» Евгений одержал в ноябре в городе Лафборо и после нее впервые вошел в Топ-100 мирового рейтинга теннисистов. В конце того же месяца выиграл «челленджер» в городе Тюмень.

Дебютировал в основных соревнованиях турниров серии Большого шлема, сыграв на Открытом Чемпионате Австралии, спортсмен в январе 2013 года. Сразу же ему удалось пройти в третий раунд, обыграв Адриана Унгура и Михаила Южного. В борьбе за выход в следующий раунд Евгений проиграл японцу Кэю Нисикори. В апреле впервые сыграл в составе сборной России в отборочном розыгрыше Кубка Дэвиса. В матче против сборной Великобритании сыграл две одиночные встречи, выиграв одну из них и проиграв вторую. По итогу россияне уступили с общим счетом 2-3. На дебютном Открытом Чемпионате Франции Донской вышел во второй раунд.

В июне 2013 года на травяном турнире в городе Хертогенбос впервые вышел в четвертьфинал основных соревнований тура, обыграв Джона Изнера и Робина Хасе. На Уимблдонском турнире вновь сыграл против Изнера в матче первого раунда и на этот раз проиграл. На Открытом Чемпионате США Донской выиграл два матча у Юргена Мельцера и Петера Гоевчика и вышел в третий раунд.

Следующий раз на турнир Большого шлема Донской попал в июне 2014 года, сыграв на Уимблдоне, где проиграл в первом раунде Бернарду Томичу. На Открытом Чемпионате США в том же сезоне в напряженном пятисетовом поединке первого раунда проиграл Александру Кудрявцеву. В сентябре помог сборной обыграть в отборочном раунде Кубка Дэвиса португальцев, сыграв один победный матч против Жуана Соузы.

Евгений в составе России против Дании выступил в марте 2015 года и свой матч проиграл, однако Россияне прошли дальше. В июле помог обыграть сборную Испании. Донской принес команде два очка, выиграв 21 ракетку Мира на тот момент Томми Робредо и парную встречу в дуэте с Константином Кравчуком. В августе впервые за три года Евгений победил на «челленджере», взяв главный приз. На Открытый Чемпионат США пробился через квалификацию и в стартовом матче обыграл Люку Пуя. Во втором раунде проиграл Чемпиону турнира Марину Чиличу. В октябре на кубке Кремля он впервые в карьере вышел в полуфинал турнира АТР. В борьбе за выход в решающий матч не смог победить хорвата Марина Чилича.

На Открытом Чемпионате Австралии 2016 года Донской в матче второго раунда в пятисетовом матче проиграл Жилю Симону. В марте принял участие в разгроме Швеции в отборе Кубка Дэвиса, принеся свое очко в парной встрече. В июле Донской выиграл «челленджер» в городе Астана. В августе впервые сыграл на Олимпийских играх, проходивших в городе Рио-де-Жанейро. В первом раунде обыграл Яна-Леннарда Штруффа, а во втором раунде обыграл Давида Феррера. В матче третьего раунда Донской не смог навязать борьбу Стиву Джонсону и проиграл, взяв всего два гейма. Донской и Джонсон вновь встретились на Открытом Чемпионате США и на этот раз Евгений смог создать трудности американцу, который затратил для победы все пять сетов. 

В январе 2017 года в дуэте с Михаилом Елгиным выиграл парный титул на «челленджере» в городе Рен. В феврале на турнире в городе Дубай, куда попал через квалификацию, обыграл Роджера Федерера. После этой победы Евгений проиграл в следующем раунде Люке Пую. В марте выиграл «челленджер» в городе Чжухай. На Открытом Чемпионате Франции выбыл уже на старте, проиграв Виктору Троицки.

На турнире в городе Делрей-Бич в середине февраля 2018 года, теннисист сумел дойти до четвертьфинала, где уступил американцу Стиву Джонсону. По ходу турнира обыграл американца Дональда Янга и Дэриана Кинга из Барбадоса. В марте на кортах Индиан-Уэллса турнира «BNP Paribas Open» в первом круге Донской играл против Карена Хачанова. Встреча продолжалась два часа и завершилась со счетом 6:3, 1:6, 7:6 (7:4) в пользу Евгения.