Сергей Калинин родился 17 марта 1991 года в городе Омск. Хоккеем начал заниматься в Омске в 1998 году. Хват клюшки - левый. Первый тренер - Евгений Александрович Корноухов. Выступал за «Авангард»-2, «Омские Ястребы», «Авангард».
Воспитанник омского хоккея. Выступал за команду МХЛ «Омские ястребы». В сезоне 2015 года - капитан омского «Авангарда».
Образование: высшее. В 2013 году защитил диплом по специальности «Менеджмент организации» в Институте менеджмента и экономики Омского государственного университета путей сообщения.
В феврале 2013 года продлил контракт с «Авангардом» еще на два года. В 2015 году 29 мая Калинин подписал однолетний контракт новичка с «Нью-Джерси Девилз».
Хоккеист продлил контракт еще на год на сумму $ 0,8 млн 6 июля 2016 года. В 2017 году 18 февраля перешел в «Торонто Мейпл Лифс» в обмен на защитника Виктора Лева.
Сергея Калинина 25 января 2018 года включили в состав хоккейной сборной для участия в зимних Олимпийских играх в городе Пхенчхан. В составе команды, 25 февраля 2018 года, стал Чемпионом зимних Олимпийских игр.