Андрей Ларьков родился 25 ноября 1989 года в городе Зеленодольск Республики Татарстан. Начал заниматься в лыжной секции в местной детско-юношеской спортивной школе №4. Первыми серьезными соревнованиями для него стал Кубок Восточной Европы 2008 года. Там Андрей попробовал свои силы в спринте, дистанционных гонках, но выше 45 места не поднялся.
Гораздо удачнее Ларьков выступил на Первенстве России среди молодежи 2009 года в городе Заинск, где спортсмен занял 5, 7 и 14 места. На Российском Первенстве среди молодежи до 23 лет в городе Сыктывкар 2010 года лыжник взял бронзу на 30 километров в скиатлоне. В шаге от медали остановился на дистанции 15 километров в классической гонке. В спринте выступил неудачно, заняв лишь 39 место. На Чемпионате России того же года в эстафете занял 10 место.
Следующий успех к Андрею пришел на Первенстве России среди юниоров до 23 лет 2011 года в городе Рыбинск, где спортсмен проиграл только москвичу Викулину Павлу. Этот результат позволил ему пройти отбор на Чемпионат Мира среди молодежи в эстонском городе Отепя. Там лыжник выступил очень хорошо, показав 4 время в скиатлоне и 12 в 15 километровой гонке свободным стилем.
В 2011 году в городе Тюмень выиграл золото на дистанции двадцать километров в рамках международных соревнований FIS. После этого получил право выступить на этапе Кубка Мира в городе Кэнмор. Этот шанс лыжник не упустил: в скиатлоне на 30 километров занял шестое место, в гонке на 15 километров с общего старта седьмое. На этом этапе стал лучшим среди Россиян.
В самом престижном турнире Тур де Ски выступил в 2013 году, пробежав 6 гонок. Самое высокое занятое им место, 13. По итогам сезона Ларьков занял также 13 позицию среди сильнейших лыжников России.
На Кубке Мира лучший результат показал в сезоне 2016/2017 года на этапе в городе Валь-ди-Фьемме, придя пятым в масс-старте. На Чемпионате России в городе Мончегорск Андрей победил в гонке на 70 километров свободным стилем.
Ларьков является мастером спорта международного класса. Выступает за Всероссийское физкультурно-спортивное общество «Динамо» и Центр спортивной подготовки Министерства по делам молодежи, спорта и туризма Республики Татарстан. Тренируется под руководством В.А. Махалова, Г.Н. Рожкова, С.В. Бочкарева.
Спортсмену объявлена благодарность Президента Российской Федерации.