Александр Мартынович родился 26 августа 1987 года в городе Минск, Республика Беларусь. Воспитанник Белорусского Республиканского Государственного училища Олимпийского резерва. Свою профессиональную карьеру спортсмен начал в 15 лет в ФК «РГУОР-Динамо».
С 2004 года в основном и дублирующем составе за шесть сезонов Александр провел 191 официальный матч, забив 10 мячей. Дважды, в 2008 и 2009 годах, Мартынович становился серебряным призером Чемпионата страны в составе своего клуба.
Центральный защитник являлся ведущим игроком национальной сборной Республики Беларусь. Впервые выступил за сборную в ноябре 2009 года в товарищеском матче со сборной Черногории в городе Подгорица. В ноября следующего года отличился дублем в товарищеском матче со сборной Омана в городе Маскат.
Летом 2010 года Мартынович перешел из минского клуба «Динамо» в футбольный клуб «Краснодар», а в 2013 году стал капитаном команды.
Сезон 2015/2016 года футболист провел на правах аренды в ФК «Урал» из города Екатеринбург, после чего снова вернулся в ряды черно-зеленых, подписав новый контракт с ФК «Краснодар».
Александр Мартынович является мастером спорта Республики Беларусь международного класса. Серебряный призер Чемпионата Беларуси, Бронзовый призер Чемпионата России.
Женат на бывшей гимнастке сборной Белоруссии Зинаиде Луниной. Воспитывает дочь Настю.