Евгений Первышов родился 4 мая 1976 года в городе Краснодар. Трудовую деятельность начал в 1993 году на заводе имени Седина. С 1994 года по 1996 год проходил службу в рядах Российской Армии, выполнял задачи по защите конституционных прав граждан в Северной Осетии. С 1996 года в течении девяти лет работал в ЗАО «Краснодарский нефтеперерабатывающий завод».
В 2005 году Евгений Алексеевич окончил Кубанский государственный технологический университет по специальности «Инженер-теплоэнергетик». Позднее получил второе высшее образование в Северо-Кавказском филиале ГОУ ВПО Российская академия правосудия в городе Краснодаре по специальности «Юриспруденция».
С 2005 года по 2009 год Первышов Евгений работал заместителем директора МУП «Парк им.30-ия Победы». С 18 ноября 2009 года по 24 февраля 2012 года возглавлял МУП «Институт Горкадастрпроект».
Евгений Алексеевич избирался депутатом городской Думы Краснодара IV и V созыва. С 27 февраля 2012 года занимал должность заместителя начальника управления муниципального контроля администрации муниципального образования город Краснодар.
С 12 апреля 2012 года был назначен на должность начальника управления муниципального контроля администрации муниципального образования город Краснодар. На этой должности курировал борьбу с «самостроями», а также занимался вопросами демонтажа незаконных рекламных щитов и торговых павильонов. С 31 января 2013 года Первышов Евгений возглавил администрацию Прикубанского внутригородского округа.
С сентября 2013 года Евгений Алексеевич Первышов назначен заместителем главы муниципального образования город Краснодар по вопросам городского хозяйства, топливно-энергетического комплекса и жилищным вопросам. К этому времени он вступил в «Единую Россию», войдя в политсовет краснодарского городского отделения.
Перед Олимпиадой-2014 Первышова направили в Сочи курировать достройку олимпийских объектов - находившихся на балансе Центра «Омега» отелей для размещения персонала и журналистов. Места размещения не успевали сдать в срок, поэтому Первышов был отправлен туда в качестве «антикризисного менеджера»,
В 2014 году Евгений Первышов награжден медалью «За выдающийся вклад в развитие Кубани» III степени. С ноября 2015 года занимал должность директора департамента разрешительной деятельности и контроля - начальник отдела разрешительной деятельности Министерства строительства и жилищно-коммунального хозяйства.
С 14 ноября 2016 года работал в должности первого заместителя главы муниципального образования город Краснодар и в статусе исполняющего обязанности главы Краснодара. На внеочередном заседании 8 декабря 2016 года Депутаты городской думы Краснодара выбрали главой города Первышова Евгения Александровича.
В 2017 году окончил ФГБОУ ВО «Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова» по направлению подготовки «Государственное и муниципальное управление», присвоена квалификация «Магистр».
В 2018 году награждён медалью «За выдающийся вклад в развитие Кубани» I степени.