Евгений Костюков родился 23 мая 1969 года в городе Белово, Кемеровская область. Позже вместе с семьей переехал в город Киселевск, а затем в Березовский. Там учился в школе №16. Окончил горно-электромеханический факультет Кузбасского государственного технического университета имени Т.Ф. Горбачева. Играл в команде КВН «Сибирские богатыри». Являлся вокалистом и автором песен в рок-группе «СкладЫ».
С 1991 года Костюков работал в театре «Ложа», организованным Евгением Гришковцом. Именно там у актера появился псевдоним Сытый. Принимал участие практически во всех постановках театра - «Мы плывем», «Планета неведомых сил добра», «Покет Моби Дик», «Новогодняя сказка»,«Закон природы» и других. В 1999 году дебютировал в роли театрального режиссера в спектакле «Угольный бассейн».
В 2003 году Евгений Сытый начал сниматься в кино. Дебютом стала эпизодическая роль в фильме «Коктебель». В 2006 году впервые сыграл главную роль в фильме «Свободное плавание». Позже снимался в главных ролях в фильмах «Сумасшедшая помощь», «Жить», «Пока ночь не разлучит», «Долгая счастливая жизнь» и других.
В 2014 году режиссер МХАТа Александр Молочников пригласил Сытого на роль эрцгерцога Франца Фердинанда в работе «19.14». В том же спектакле сыграл роли француза и отца немецкого солдата. В 2016 году стал постоянным членом труппы МХАТа.
В 2017 году Евгений Александрович снялся в роли слуги Якима в фильме «Гоголь. Начало», затем появился в продолжении трилогии «Гоголь. Вий» и «Гоголь. Страшная месть». Также сыграл в проектах «Вы все меня бесите» со Светланой Ходченковой, «Охота на дьявола» с Сергеем Безруковым, картине «Матрешка» с Иваном Колесниковым.
Евгений Сытый исполнил роль в художественном фильме Александра Лунгина «Большая жизнь», премьера в широком прокате которого состоялась 28 ноября 2019 года.
Медаль За веру и добро»
Медаль «За служение Кузбассу»
Медаль «70 лет Кемеровской области»
Орден «Доблесть Кузбасса»
Театральные работы Евгения Сытого
Театр «Ложа»
«Мы плывём» (1991) - Матрос
«Сингулариа тантум» (1992) - Народ
«Осада» (1993) - Ветеран
«Зима» (1994) - Ермак
«По По» (1995) - Человек в чёрной перчатке
«Люди в поисках гармонии» (1995) - Один из шести
«Было тихо» (1997) - Человек, которого нет (один из троих)
«Угольный бассейн» (1999) - Бригадир
«Планета неведомых сил добра» (2001) - Жёлтый
«Покет Моби Дик» (2003) - Гарпунер
«Новогодняя сказка» (2006) - Красивая мысль
«Закон природы» (2007) - Филин
МХАТ имени А. П. Чехова
«19.14» - Отец
«Dreamworks* *Мечтасбывается» - Лама Джон
«Бунтари» - актёр
«В. Ж.» - Михаил
«Светлый путь. 19.17» - Кухарки, родственницы, физкультурницы, солдаты, казаки, смолянки, горничные, Чевенгурцы
2003 - «Коктебель» - Обходчик
2006 - «Свободное плавание» - Бригадир Рослов
2009 - «Сумасшедшая помощь» - белорусский гастарбайтер
2009 - «Короткое замыкание» - муж в новелле «Позор»
2011 - «Фарфоровая свадьба» - маньяк
2011 - «Жить» - отец Артёма
2012 - «Пока ночь не разлучит» - официант
2012 - «Долгая счастливая жизнь» - Женя
2012 - «Здрасьте, приехали!» - Борис
2012 - «Некуда спешить» - администратор-актриса в новелле «Спасительный туннель»
2013 - «Ещё один год» - пассажир такси
2014 - «Зоин день» - сосед Зои
2015 - «Орлеан» - полицейский
2015 - «Страна чудес» - Борис
2015 - «Озабоченные, или Любовь зла» - Вячеслав Александрович
2016 - «Пушкин» - Альберт Валентинович
2016 - «Красные браслеты» - санитар Коля
2016 - «Матрёшка»
2017 - «Вы все меня бесите» - Антон Викторович Тименко
2017 - «Гоголь. Начало» - Яким
2017 - «Знак» - посетитель
2017 - «Лалай-Балалай»
2017 - «Сердце мира»
2017 - «Аритмия» - сын умершей пациентки
2018 - «О чём говорят мужчины. Продолжение» - десантник
2018 - «Гоголь. Вий» - Яким
2018 - «Гоголь. Страшная месть» - Яким
2019 - «Гоголь» - Яким
2019 - «Большая поэзия»
2019 - Чернобыль 3. Зона отчуждения. Финал(фильм) - Голухов Павел Андреевич, глава межгосударственной комиссии по урегулированию проблемы ЧАЭС
Женат. Сыновья - Александр и Глеб Костюковы