Александр Беленов родился 13 сентября 1986 года в городе Белгород. Воспитанник ФК «Салют» родного города. В 2004 году дебютировал за основной состав команды во Втором дивизионе. Зимой 2006 года Беленов тренировался с дублирующим составом казанского футбольного клуба «Рубина», но контракт с ним подписан не был из-за слишком завышенной цены, выставленной «Салютом». В 2007 году в серии послематчевых пенальти с «Томью» Беленов сумел отбить два одиннадцатиметровых удара.
В августе 2010 года Беленову было сделано предложение от московского «Спартака», наблюдавшего за голкипером с товарищеской игры с «Салютом» на подготовительных сборах к сезону-2010, завершившуюся вничью 0:0. Беленов подписал 4-летний контракт со «Спартаком» 13 августа, заплатившим за трансфер вратаря 150 тысяч долларов.
Александр дебютировал в составе московского «Спартака» 28 августа 2010 года в матче 19-го тура РФПЛ против «Терека», пропустив при этом 2 гола, в которых не было его прямой вины. Главному тренеру команды, Валерию Карпину, понравилась игра Беленова в дебютном матче на выходах.
Было сообщено, что была достигнута договорённость о переходе Беленова в «Кубань» 28 июня 2011 года, в расположение которой он уже прибыл, и в случае успешного прохождения углублённого медицинского осмотра на следующий день, должен был подписать контракт с клубом, что в итоге и произошло, срок соглашения составил 3,5 года. По словам Валерия Карпина, «Спартак» решил дать добро на совершение данного перехода, поскольку учёл как желание самого футболиста, так и то, что предложение «Кубани» устроило московский клуб. Сумма трансфера футболиста составила 350 тысячи евро.
Летом 2013 года вратарь подписал новое соглашение с краснодарской «Кубанью», рассчитанное на четыре года.
Переходит в ФК «Уфа»22 февраля 2017 года, контракт подписан до конца сезона.